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EL NUMERO DE ORO   Empty EL NUMERO DE ORO

Mensaje por Admin Vie Jun 25, 2010 4:51 pm

EL NUMERO DE ORO   Pitago11

Un número nada fácil de imaginar que convive con la humanidad porque aparece en la naturaleza y desde la época griega hasta nuestros días en el arte y el diseño. Es el llamado número de oro (representado habitualmente con la letra griega)EL NUMERO DE ORO   Fi210 o también sección áurea, proporción áurea o razón áurea.


Tres números con nombre

La sección áurea y el número de oro.

El rectángulo áureo.

Pitágoras y el número de oro.

La sucesión de Fibonacci.

El número de oro en el arte, el diseño y la naturaleza.

La trigonometría y el número de oro.

Curiosidades áureas.


Tres números con nombre

Hay tres números de gran importancia en matemáticas y que "paradójicamente" nombramos con una letra. Estos números son:

El número designado con la letra griega

EL NUMERO DE ORO   Pi10
= 3,14159....(Pi) que relaciona la longitud de la circunferencia con su diámetro
(Longitud = 2.Pi.radio= Pi.diámetro).

El número e = 2´71828......, inicial del apellido de su descubridor Leonhard Euler (matemático suizo del siglo XVIII) que aparece como límite de la sucesión de término general
EL NUMERO DE ORO   Untitl34

El número designado con letra griega
EL NUMERO DE ORO   Fi211
= 1,61803... (Fi), llamado número de oro y que es la inicial del nombre del escultor griego Fidias que lo tuvo presente en sus obras.

Los tres números tienen infinitas cifras decimales y no son periódicos (sus cifras decimales no se repiten periódicamente). A estos números se les llama irracionales. Cuándo se utilizan se escriben solamente unas cuantas cifras decimales (en los tres ejemplos de arriba hemos tomado 5).

Una diferencia importante desde el punto de vista matemático entre los dos primeros y el número de oro es que los primeros no son solución de ninguna ecuación polinómica (a estos números se les llama trascendentes), mientras que el número de oro si que lo es. Efectivamente, una de las soluciones de la ecuación de segundo grado
EL NUMERO DE ORO   Untitl32
es
EL NUMERO DE ORO   Untitl33
que da como resultado el número de oro.



La sección áurea y el número de oro

La sección áurea es la división armónica de una segmento en media y extrema razón. Es decir, que el segmento menor es al segmento mayor, como este es a la totalidad. De esta manera se establece una relación de tamaños con la misma proporcionalidad entre el todo dividido en mayor y menor. Esta proporción o forma de seleccionar proporcionalmente una línea se llama proporción áurea.

Tomemos un segmento de longitud uno y hagamos en el la división indicada anteriormente
EL NUMERO DE ORO   Untitl35

Aplicando la proporción áurea obtenemos la siguiente ecuación que tendremos que resolver
EL NUMERO DE ORO   Untitl36


Una de las soluciones de esta ecuación (la solución positiva) es
x=EL NUMERO DE ORO   Untitl37

Lo sorprendente ahora es calcular el valor que se obtiene al dividir el segmento mayor entre el menor,
EL NUMERO DE ORO   Untitl38
Es decir, la relación entre las dos partes en que dividimos el segmento es el número de oro.


El rectángulo áureo

Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo.
EL NUMERO DE ORO   Untitl39

Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor del rectángulo vale
EL NUMERO DE ORO   Untitl41
por lo que la proporción entre los dos lados es
EL NUMERO DE ORO   Untitl42
(nuestro número de oro).
EL NUMERO DE ORO   Untitl40

Obtenemos así un rectángulo cuyos lados están en proporción áurea. A partir de este rectángulo podemos construir otros semejantes que, como veremos mas adelante, se han utilizando en arquitectura (Partenón, pirámides egipcias) y diseño (tarjetas de crédito, carnets, cajetillas de tabaco, etc...).

Una propiedad importante de los triángulos áureos es que cuando se colocan dos iguales como indica la figura, la diagonal AB pasa por el vértice C.

EL NUMERO DE ORO   Rectau10

En efecto, situemos los rectángulos en unos ejes de coordenadas con origen en el punto A. Las coordenadas de los tres puntos serán entonces:
EL NUMERO DE ORO   Abc10

Vamos a demostrar que los vectores
EL NUMERO DE ORO   Ab10
y
EL NUMERO DE ORO   Ac11
son proporcionales:
EL NUMERO DE ORO   Racion10
Por lo tanto, los tres puntos están alineados.

Pitágoras y el número de oro

EL NUMERO DE ORO   Pit_bm10

Pitágoras (c. 582-c. 500 a.C.), filósofo y matemático griego, nació en la isla de Samos. Fue instruido en las enseñanzas de los primeros filósofos jonios Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes. Se dice que Pitágoras había sido condenado a exiliarse de Samos por su aversión a la tiranía de Polícrates. Hacia el 530 a.C. se instaló en Crotona, una colonia griega al sur de Italia, donde fundó un movimiento con propósitos religiosos, políticos y filosóficos, conocido como pitagorismo. La filosofía de Pitágoras se conoce sólo a través de la obra de sus discípulos.

Los pitagóricos asumieron ciertos misterios, similares en muchos puntos a los enigmas del orfismo. Aconsejaban la obediencia y el silencio, la abstinencia de consumir alimentos, la sencillez en el vestir y en las posesiones, y el hábito del autoanálisis. Los pitagóricos creían en la inmortalidad y en la trasmigración del alma. Se dice que el propio Pitágoras proclamaba que él había sido Euphorbus, y combatido durante la guerra de Troya, y que le había sido permitido traer a su vida terrenal la memoria de todas sus existencias previas.

Entre las amplias investigaciones matemáticas realizadas por los pitagóricos se encuentran sus estudios de los números pares e impares y de los números primos y de los cuadrados, esenciales en la teoría de los números. Desde este punto de vista aritmético, cultivaron el concepto de número, que llegó a ser para ellos el principio crucial de toda proporción, orden y armonía en el universo. A través de estos estudios, establecieron una base científica para las matemáticas. En geometría el gran descubrimiento de la escuela fue el teorema de la hipotenusa, conocido como teorema de Pitágoras, que establece que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.

Una revuelta provocada en Crotona, por una asociación de ideas contrarias a las pitagóricas, terminó con el incendio de la sede. Se cree que Pitágoras se vio obligado a huir de Crotona y murió en Metaponto. La persecución de los pitagóricos provocó el éxodo a la Grecia Continental, dando lugar a la difusión de las ideas pitagóricas.

EL NUMERO DE ORO   Pentag11

La estrella pentagonal o pentágono estrellado era, según la tradición, el símbolo de los seguidores de Pitágoras. Los pitagóricos pensaban que el mundo estaba configurado según un orden numérico, donde sólo tenían cabida los números fraccionarios. La casualidad hizo que en su propio símbolo se encontrara un número raro: el numero de oro.

EL NUMERO DE ORO   Untitl43

Por ejemplo, la relación entre la diagonal del pentágono y su lado es el número de oro.

EL NUMERO DE ORO   Untitl44

También podemos comprobar que los segmentos QN, NP y QP están en proporción áurea.

EL NUMERO DE ORO   Untitl46

Ver la sección La trigonometría y el número de oro.


EL NUMERO DE ORO   Fibona10
Fibonacci

Leonardo Fibonacci nació en Pisa, Italia, en 1170. Creció y fue educado en Bugia, norte de Africa (hoy llamada Bejaia, en Argelia), desde donde regresó a Pisa alrededor del año 1200.
Fibonacci fue sin duda influido y posiblemente enseñado por matemáticos árabes durante este su periodo más formativo.

Escribió muchos textos matemáticos e hizo algunos descubrimientos matemáticos significativos, lo que ayudó a que sus trabajos fueran muy populares en Italia y a que le prestara atención el Sacro Emperador Romano del momento, Federico II, quien lo invitó a su corte de Pisa. Fibonacci murió en 1250.

EL NUMERO DE ORO   Fibona10



La secuencia de Fibonacci es una secuencia infinita de números, que comienza por: 1, 1, 2, 3, 5, cada uno de ellos es la suma de los dos que le preceden.

EL NUMERO DE ORO   Fibona11

Así: 1+1=2,1+2=3,2+3=5,3+5=8,5+8= 13, y así sucesivamente.

Para cualquier valor mayor que 3 contenido en la secuencia, la proporción entre cualesquiera dos números consecutivos es 1: 1,618, o Sección Áurea.

La secuencia de Fibonacci se puede encontrar en la naturaleza, en la que la flor del girasol, por ejemplo, tiene veintiuna espirales que van en una dirección y treinta y cuatro que van en la otra; ambos son números consecutivos de Fibonacci.

EL NUMERO DE ORO   Fibona10

La parte externa de una piña piñonera tiene espirales que van en sentido de las manecillas del reloj y otras que lo hacen en sentido contrario, y la proporción entre el número de unas y otras espirales tiene valores secuenciales de Fibonacci. En las elegantes curvas de una concha de nautilus, cada nueva circunvolución completa cumplirá una proporción de 1: 1,618, si se compara con la distancia desde el centro de la espiral precedente.


La sucesión de Fibonacci

Consideremos la siguiente sucesión de números:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...

Cada número a partir del tercero, se obtiene sumando los dos que le preceden. Por ejemplo, 21 = 13 + 8; el siguiente a 34 será 34 + 21 = 55.

Esta sucesión es la llamada "sucesión de Fibonacci"*.

*Es el sobrenombre con el que se conoció al rico comerciante Leonardo de Pisa (1170-1240). Viajó por el Norte de África y Asia y trajo a Europa algunos de los conocimientos de la cultura árabe e hindú, entre otros la ventaja del sistema de numeración arábigo (el que usamos) frente al romano.

La sucesión de Fibonacci presenta diversas regularidades numéricas. Para que resulte más sencillo las hemos enunciado en casos particulares (aunque se cumplen en general) y hemos calculado los primeros catorce términos de esta sucesión:

t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t11 t12 t13 t14
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377

Si sumas los cuatro primeros términos y añades 1, te sale el sexto (1+1+2+3 + 1 = ocho). Si sumas los cinco primeros términos y añades 1, te sale el séptimo (1+1+2+3+5 + 1 = 13).

Si sumas los tres primeros términos que ocupan posición impar (t1,t3,t5) sale el sexto término (t6), (1+2+5 = ocho). Si sumas los cuatro primeros términos que ocupan posición impar (t1,t3,t5,t7) sale el octavo término (t8), (1+2+5+13 = 21).

Si sumas los tres primeros términos que ocupan posición par (t2,t4,t6) y añades 1, sale el séptimo término (t7), (1+3+8 + 1 =13). Si sumas los cuatro primeros términos que ocupan posición par (t2,t4,t6,t8) y añades 1, sale el noveno término (t9), (1+3+8+21 + 1 =34).

¡Aún las hay más difíciles de imaginar!

Tomemos dos términos consecutivos, por ejemplo: t4=3 y t5=5; elevando al cuadrado y sumando: 32+52=9+25=34 que es el noveno (4+5) término de la sucesión. Tomando t6=8 y t7=13; elevando al cuadrado y sumando: 82+132=64+169=233 que es el (6+7) decimotercero término de la sucesión.

Pero si elevamos al cuadrado los cinco primeros términos y los sumamos, sale el producto del quinto y el sexto término: 12+12+22+32+52=40=5*8. Si hacemos lo mismo para los seis primeros términos, sale el producto del sexto y el séptimo término:12+12+22+32+52+82=104=8*13.

Y quizás la más sorprendente sea la siguiente propiedad. Dividamos dos términos consecutivos de la sucesión, siempre el mayor entre el menor y veamos lo que obtenemos:

1 : 1 = 1
2 : 1 = 2
3 : 2 = 1´5
5 : 3 = 1´66666666
8 : 5 = 1´6
13 : 8 = 1´625
21 :13 = 1´6153846....
34 :21 = 1´6190476....
55 :34 = 1´6176471....
89 :55 = 1´6181818....

Al tomar más términos de la sucesión y hacer su cociente nos acercamos al número de oro. Cuanto mayores son los términos, los cocientes se acercan más a
aqui poner FI editando
=1,61803.... En lenguaje matemático,
EL NUMERO DE ORO   Limite10
Efectivamente,
EL NUMERO DE ORO   Limite11


El número de oro en el arte, el diseño y la naturaleza

El número áureo aparece, en las proporciones que guardan edificios, esculturas, objetos, partes de nuestro cuerpo, ...

Un ejemplo de rectángulo áureo en el arte es el alzado del Partenón griego.

EL NUMERO DE ORO   Untitl47

En la figura se puede comprobar que
AB/CD= EL NUMERO DE ORO   Fi212

Hay más cocientes entre sus medidas que dan el número áureo, por ejemplo:
AC/AD=EL NUMERO DE ORO   Fi212

y CD/CA=EL NUMERO DE ORO   Fi212

Hay un precedente a la cultura griega donde también apareció el número de oro.

EL NUMERO DE ORO   Pir_bm11

En La Gran Pirámide de Keops, el cociente entre la altura de uno de los tres triángulos que forman la pirámide y el lado es 2 EL NUMERO DE ORO   Fi212

Ya vimos que el cociente entre la diagonal de un pentágono regular y el lado de dicho pentágono es el número áureo.

EL NUMERO DE ORO   Part_b11

En un pentágono regular está basada la construcción de la Tumba Rupestre de Mira en Asia Menor.

EL NUMERO DE ORO   Tarj_b10

Ejemplos de rectángulos áureos los podemos encontrar en las tarjetas de crédito, en nuestro carnet de identidad y también en las cajetillas de tabaco.

Unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que estudiaron antes los griegos y romanos, las plasmó en este dibujo Leonardo da Vinci. Sirvió para ilustrar el libro La Divina Proporción de Luca Pacioli editado en 1509.

EL NUMERO DE ORO   Vit_bm10

En dicho libro se describen cuales han de ser las proporciones de las construcciones artísticas. En particular, Pacioli propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean proporciones áureas. Estirando manos y pies y haciendo centro en el ombligo se dibuja la circunferencia. El cuadrado tiene por lado la altura del cuerpo que coincide, en un cuerpo armonioso, con la longitud entre los extremos de los dedos de ambas manos cuando los brazos están extendidos y formando un ángulo de 90º con el tronco. Resulta que el cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la mano (radio de la circunferencia) es el número áureo.

EL NUMERO DE ORO   Muj_bm10

El cuadro de Dalí Leda atómica, pintado en 1949, sintetiza siglos de tradición matemática y simbólica, especialmente pitagórica. Se trata de una filigrana basada en la proporción áurea, pero elaborada de tal forma que no es evidente para el espectador. En el boceto de 1947 se advierte la meticulosidad del análisis geométrico realizado por Dalí basado en el pentagrama místico pitagórico.

EL NUMERO DE ORO   Natu_b10

En la naturaleza, aparece la proporción áurea también en el crecimiento de las plantas, las piñas, la distribución de las hojas en un tallo, dimensiones de insectos y pájaros y la formación de caracolas.


La espiral logarítmica


Si tomamos un rectángulo áureo ABCD y le sustraemos el cuadrado AEFD cuyo lado es el lado menor AD del rectángulo, resulta que el rectángulo EBCF es áureo. Si después a éste le quitamos el cuadrado EBGH, el rectángulo resultante HGCF también es áureo. Este proceso se puede reproducir indefinidamente, obteniéndose una sucesión de rectángulos áureos encajados que convergen hacia el vértice O de una espiral logarítmica.

EL NUMERO DE ORO   Espira10

Esta curva ha cautivado, por su belleza y propiedades, la atención de matemáticos, artistas y naturalistas. Se le llama también espiral equiangular (el ángulo de corte del radio vector con la curva es constante) o espiral geométrica (el radio vector crece en progresión geométrica mientras el ángulo polar decrece en progresión aritmética). J. Bernoulli, fascinado por sus encantos, la llamó spira mirabilis, rogando que fuera grabada en su tumba.

La espiral logarítmica vinculada a los rectángulos áureos gobierna el crecimiento armónico de muchas formas vegetales (flores y frutos) y animales (conchas de moluscos), aquellas en las que la forma se mantiene invariante. El ejemplo más visualmente representativo es la concha del nautilus.


La trigonometría y el número de oro

Consideremos un pentágono regular en el cual se han dibujado las diagonales.

EL NUMERO DE ORO   Untitl49

En esta figura sólo aparecen tres ángulos diferentes. Miden 36º, 72º y 108º. La relación entre estos ángulos es la siguiente: 72 es el doble de 36 y 108 es el triple de 36. Hay varios tipos diferentes de triángulos isósceles, de los cuales seleccionamos tres: los triángulos ABE, ABF y AFG. El resto de triángulos son semejantes a alguno de estos y no aportan información adicional. Finalmente, hay cuatro segmentos diferentes en estos triángulos, que llamaremos: BE=a, AB=AE=b, AF=BF=AG=c y GF=d. Las longitudes de estos segmentos cumplen: a>b>c>d.

Consideremos cada uno de estos triángulos por separado y apliquemos el teorema del seno.

Triángulo ABE

EL NUMERO DE ORO   28_bmp10
EL NUMERO DE ORO   Primer10

Triángulo ABF

EL NUMERO DE ORO   Abf_bm10
EL NUMERO DE ORO   Del_ab10

Triángulo AFG

EL NUMERO DE ORO   Afg_bm10
EL NUMERO DE ORO   31_bmp10
Como 72º=180º-108º, se verifica que sen72º=sen108º.

En consecuencia podemos establecer las siguientes proporciones:
EL NUMERO DE ORO   32_bmp10

Es decir, una vez ordenadas las longitudes de los cuatro segmentos de mayor a menor, la razón entre cada una de ellas y la siguiente es constante e igual a nuestro número de oro.

Tomando la primera de las proporciones, teniendo en cuenta que c=a-b y haciendo b=1:
EL NUMERO DE ORO   33_bmp10
(el numero de oro)

Es decir, dos de estos segmentos consecutivos cumplen la proporción áurea.

Como consecuencia, se verifica
EL NUMERO DE ORO   34_bmp10


Curiosidades áureas

Potencias . Los números
EL NUMERO DE ORO   35_bmp10
guardan unas curiosas relaciones entre si. Efectivamente, podemos deducirlas a partir de la ecuación
EL NUMERO DE ORO   36_bmp10
que tiene como solución el número de oro:
EL NUMERO DE ORO   37_bmp10

Potencias 2
. Consideremos la sucesión de término general:
EL NUMERO DE ORO   38_bmp10
Si calculamos los primeros términos, podemos observar una curiosa relación entre ellos. Calculando primero algunas potencias
EL NUMERO DE ORO   39_bmp10
podemos concluir que la sucesión dada se convierte en
EL NUMERO DE ORO   40_bmp10
Evidentemente, cada término a partir del tercero se puede obtener sumando los dos anteriores. Lo curioso es que esta relación es la misma que se verifica en la sucesión de Fibonacci.

Limites. Comprobemos que los siguientes límites dan como resultado el número de oro:
1 2
EL NUMERO DE ORO   41_bmp10

1. Llamemos "L" al valor del límite. Fácilmente se comprueba que se verifica la ecuación
EL NUMERO DE ORO   42_bmp10
Elevando al cuadrado los dos miembros y pasando todos los términos a la izquierda se obtiene la ecuación final
EL NUMERO DE ORO   Lll_bm10
Una de las soluciones de esta ecuación es nuestro número de oro
EL NUMERO DE ORO   43_bmp10

2. Sea "M" el valor del límite. Se comprueba la relación
EL NUMERO DE ORO   44_bmp10
Quitando denominadores y pasando todos los términos a la izquierda se obtiene la ecuación
EL NUMERO DE ORO   Mmm_bm10
cuya solución positiva es el número de oro.

por Ignacio A. Langarita Felipe


Última edición por Admin el Mar Nov 27, 2012 9:01 am, editado 2 veces
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Mensaje por Admin Mar Ene 31, 2012 9:24 am



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Mensaje por Admin Mar Dic 17, 2013 10:09 am

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Mensaje por Admin Mar Dic 17, 2013 10:12 am

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“We are not going in circles, we are going upwards. The path is a spiral; we have already climbed many steps.” 
― Hermann Hesse 
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Mensaje por Admin Mar Dic 17, 2013 10:13 am

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Mensaje por Admin Mar Dic 17, 2013 10:15 am

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Última edición por Admin el Jue Sep 11, 2014 4:17 pm, editado 1 vez
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Mensaje por Admin Jue Sep 11, 2014 3:51 pm

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Mensaje por Admin Jue Sep 11, 2014 3:52 pm

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EL NUMERO DE ORO   Empty Frank Chester - The Chestahedron - The Wonder of Seven

Mensaje por Admin Jue Sep 11, 2014 3:54 pm

Description below by Robert Otey:
Frank gives the clearest presentation to date of the core work he has done regarding his discovery of the 7 sided Chestahedron. The Chestahedron is a 7 sided geometric figure which is similar to so-called Platonic Solids, in that all of the faces have the same amount of surface area. The difference being that the Chestahedron has 2 types of faces, Triangles and Kites, whereas the platonic solids only have one type of face..

In this presentation we were able to highlight and showcase many aspects of his previous lectures which were difficult to see and understand in past presentations. The Green screen allowed us to place images and videos next to Frank which brought greater detail and clarity to his work. We hope this gives all students of his work a more concise description to study this Geometrician's great achievements.

Frank's work is revealing the unseen magnetic space geometries described by Walter and Lao Russell which give form to so-called matter and substance in our electric Universe of ever changing spiraling temporal motions.

Frank's work is a major confirmation and validation of the exhaustive and extensive Cosmology authored by the Russell's based on their divine illumination. 

Frank's methodology is based on empirical research and development and is the perfect marriage of Science with the Russell's divine illumination. As Frank states clearly in this presentation we need Science and Spirituality to come together again, so we may study the real Universe instead of the fictional one based on arcane mythematics parroted in all schools and media owned by corporate sources.

Frank has laid down the path of methodology which must be followed by the real scientists of the future and applied to all so-called fields of scientific investigation. Memorization of dysfunctional theories by rote has served only to enslave humanity to false psyence. The free thinking inventive scientists of today and tomorrow will now have a guide for their studies which will lead them back to Nature and the Causes behind all observation mankind catalogs in his effort to understand reality. 

Filmed at New Form Technology Center in San Carlos, California May 2014.

Produced by Matt Presti & Robert Otey.

http://mattpresti.com & http://feandft.com

Music by Robert Otey - "Forevermore."
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